직선의 방적식과 내적의 관계

1. 직선의 방정식

직선의 방정식은 1차함수와 그 모양이 같으며 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

     또는 

 로 직선의 방정식을 표현할 경우 여기서 는 기울기를 뜻합니다.

는 에 곱해지는 계수이기 때문에, 의 증가 비율을 뜻하기 때문입니다.

따라서 는 으로 정의 할 수 있습니다.

또한 는 y 절편을 뜻합니다. 가 0 일 때 가되기 때문이죠.

2.  두 직선의 관계

직교하는 두 직선을 위 그림처럼 나타냈을 때

 의 좌표는 , 의 좌표는 이고 우리는 피타고라스의 정리를 이용해서

 을 알 수 있습니다.

이것을 수식을 풀어서 정리해 보면

 =

            ........=

두 직선이 서로 직교 할 때 두 직선의 기울기를 곱하게 되면 항상 -1 이 나오게 됩니다.

  

직선을 로 표현했을 때, 와 에는 특별한 성질이 있습니다.

만약 방향으로 원점에서 출발하는 직선을 가정한다면 그 기울기는 입니다.

우리는 원래의 직선 를  로 식을 표현 할 수 있습니다.

이럴 경우 방향으로 원점에서 출발하는 직선의 기울기와 본래 직선의 기울기의 곱은 -1이 됩니다.

즉 직선을 로 표현했을 때, 는 직선에 수직하는 방향벡터라고 할 수 있겠습니다.

3.  점과 직선사이의 최단거리

직선의 방정식  에서  는 직선에 수직인 방향의 벡터임을 이미 알고 있습니다.

직선 위의 한 점  와 점  을 끝점으로 하는 벡터  을 생각하면 

 와  의 내적은 다음과 같이 정리됩니다.

    ⋅ =

우리가 원하는 건 최단거리이기 때문에 직선으로 수직으로 향하는 를 사용했습니다.

내적공식을 이용해서 좌변을 정리하면

    이며 우리는 임을 알고 있기 때문에

   라 할 수 있습니다.

여기서 우 변의 가 벡터를 방향으로 정사영한 길이,

즉 최단거리이기 때문에 만 없다면 우리는 최단거리를 구한 것입니다.

 =   ( 길이를 구하고 있기 때문에 부호는 의미가 없다. 절대값으로 봄)

 =

위의 결과를 3차원 공간에 존재하는 평면  과 점  으로 확장해도

마찬가지로 쉽게 점과 평면 사이의 거리를 구할 수 있습니다.

이 내용은 평면의 방정식을 공부할 때 다시 자세히 다루도록 하겠습니다.

4.  원점에서 직선까지의 거리

우리는 직선 외부의 임의의 점 에서 직선으로의 최단거리를 구하는 공식을 내적의 관점으로

구하여 보았습니다. 그렇다면, 원점에서 직선으로의 최단거리 란, 임의의점 이 으로 고정되었다고

생각하면 되겠습니다.

즉 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

5.  내적을 이용한 점과 직선의 관계

             그래프 예시

직선을 라고 표현 했을 때, 우리는 가 직선에 수직한 벡터인 것을 알고 있습니다.

만약 가 단위벡터였다면, 우리는 4.에서 유도한 공식으로 인해 원점에서 직선까지의 최단거리가

 라는 것을 알 수 있습니다.

 는 와 내적 한 결과의 모양을 하고 있습니다. 그리고 가 현재 단위벡터라는 가정

이기 때문에 결과 값이 최단거리이며 이 크기는 입니다.

즉, 직선위에 있지 않은 임의의 외부의 점 P 에 대해서

       = --> 가 직선위의 점이다.

         --> 가 직선으로 분할된 영역 중, 양의 방향의 공간에 있다.

         --> 가 직선으로 분할된 영역 중, 음의 방향의 공간에 있다.

- by Raimondo...