외적의 증명

1. 외적이란?

외적은 내적에 대응되는 의미로써 벡터곱( Cross Product ) 이라고도 합니다.

외적의 기호는 다음과 같습니다.

      X ( a cross b )

외적의 결과 값은 내적과 달리, 스칼라 값이 아닌 벡터 입니다.

이 벡터는 벡터와 벡터 둘 다에게 수직인 벡터입니다.

더불어, 외적의 결과 벡터는 그 크기가 입니다.

             

이 그림은 오른손 법칙 에 의해 외적의 결과 값으로 도출된 벡터의 방향을 나타내고 있습니다.

외적을 수행하는 순서에 따라서 수직이더라도 어떤 방향으로 수직인지가 결정됩니다.

가령 X : a Cross b 로 외적을 한다면 에서  벡터로, 오른손을 말아 쥐듯이 감싸면

엄지손가락의 방향이 바로 외적 결과 벡터의 방향입니다.

(요약) X 에 대해서

     1. 두 벡터의 외적의 결과 값은 두 벡터의 수직한 벡터이다.

     2. 외적의 결과 벡터의 방향은 오른손 법칙으로 알 수 있다.

    3. 외적의 결과 벡터의 그 크기는 이다.

2. 외적의 대수학적 속성

 외적은 다음과 같은 대수학적 속성을 지닙니다.

분배 법칙

 X ( + ) = ( X ) + ( X )   

교환 법칙

 X = X

자기 자신과의 외적

 X = 0

상수 곱(스칼라값)

(D) X = X (D) = D( X )

3. 외적의 증명

 위의 대수학적 속성을 이용해서 외적 공식을 증명해 보도록 하겠습니다.

위 그림에서 보이는 공간상의 임의의 벡터 는 각 축의 기저벡터인

 (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) 로 표현할 수 있습ㄴ다.

   =   + +

기저벡터는 서로 수직한 관계이므로, 기저벡터간의 외적값은 다음과 같습니다.

 X = ,     X =

 X = ,     X =

 X = ,    X =

또한 대수학적 속성에 의해 다음 역시 성립합니다.

 X = 0

 X = 0

 X = 0

따라서 공간상의 임의의 두 벡터 = ( + + ) ,  = ( + + ) 를 외적 한다면

그 식은 다음과 같습니다.

( + + ) X ( + + )

대수학적 속성에 의해서 위 식을 풀어서 정리하면

 + + (-) + + + + + +

= + +

즉 임의의 두 벡터에 대한 외적의 결과는 다음과 같습니다.

= ( + + )	⇨
= ( +   + )

 

              

4. 외적 공식 쉽게 보기

			+

두 벡터의 첫 번째 좌표를 지우고, 2, 3번째 좌표를 이어서 붙여줍니다.

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 긋는 순서로 X 표시를 그으면서 식을 적습니다.

- by Raimondo